Sube 10%, luego baja 10%. Terminas con menos.
La historia hasta ahora En la tienda de bicicletas el negocio va muy bien, así que el dueño te da un aumento de 10%: tus $2,400 al mes pasan a $2,640. Un año después, las ventas bajan y todos aceptan un recorte de 10%. Crees que vuelves a $2,400. Pero tu nuevo sueldo es de $2,376, $24 menos que al principio. Nadie te hizo trampa. Así funcionan los porcentajes. Esta lección muestra las matemáticas detrás de casi cualquier pregunta de dinero: propinas, aumentos, descuentos, intereses y rendimientos de inversiones.
Un porcentaje significa "de cada 100". El crecimiento en porcentaje es la forma en que se hacen las preguntas de dinero: tasas, rendimientos, aumentos y precios.
Los porcentajes pueden engañarte: una pérdida de 50% necesita una ganancia de 100% para recuperarse, y dos descuentos no se suman así nada más.
Convierte cada porcentaje en decimal, multiplica y siempre pregunta: ¿porcentaje de qué?
Los analistas financieros miden el crecimiento de ventas y ganancias. Los actuarios usan porcentajes para ponerle precio al riesgo. Los analistas de precios fijan descuentos que aún dejan ganancia.
Qué estás viendo: tu sueldo mensual, dibujado a escala. La línea punteada marca tus $2,400 iniciales. El aumento sumó el 10% de $2,400, que son $240. El recorte quitó el 10% de un número más grande, $2,640, que son $264. Por eso terminas $24 debajo de la línea.
El porcentaje, pieza por pieza.
Seis ideas cubren casi todas las matemáticas de porcentajes que verás con el dinero: sacar un porcentaje, el cambio porcentual, puntos vs. porcentaje, la trampa de la recuperación, los descuentos encadenados y el interés compuesto.
El porcentaje de un número
Un porcentaje significa "de cada 100". Para usarlo, conviértelo en decimal moviendo el punto dos lugares a la izquierda (15% = 0.15) y luego multiplica.
- Tu aumento
- 10% = 0.10. $2,400 × 0.10 = $240. Sueldo nuevo: $2,400 + $240 = $2,640, o en un solo paso $2,400 × 1.10 = $2,640.
- Una propina
- 15% de una comida de $60: $60 × 0.15 = $9.
El cambio porcentual
El cambio porcentual compara el cambio con el número inicial: el nuevo menos el anterior, dividido entre el anterior.
- El recorte
- $2,376 − $2,640$2,640 = −$264$2,640 = −0.10, una baja de 10%.
- Del inicio al final
- $2,376 − $2,400$2,400 = −$24$2,400 = −0.01, 1% menos en total.
Puntos porcentuales vs. porcentaje
Cuando una tasa cambia, hay dos formas de decirlo. Los puntos porcentuales son la simple diferencia. El cambio porcentual compara esa diferencia con la tasa anterior. Las noticias los confunden todo el tiempo.
- Una tasa de ahorro de 4% a 5%
- Sube 1 punto porcentual (5 − 4). Pero eso es 5 − 44 = 0.25, un aumento de 25% en lo que ganas.
La trampa de la recuperación
Una pérdida y la ganancia necesaria para deshacerla no son del mismo tamaño, porque la ganancia parte de un número más chico. Por eso tu recorte de 10% no canceló tu aumento de 10%, y por eso las grandes pérdidas en inversiones duelen tanto.
- Una acción cae 50%
- $100 × 0.50 = $50. Una ganancia de 50% solo la lleva a $50 × 1.50 = $75. Para volver a $100 necesita $100 − $50$50 = 1.00, una ganancia de 100%.
Descuentos encadenados
"20% de descuento, más 10% extra" no es 30% de descuento. El segundo descuento se aplica al precio que ya bajó. Multiplica las partes que te quedan.
- Una chaqueta de $100
- $100 × 0.80 = $80, luego $80 × 0.90 = $72. Eso es 28% de descuento, no 30%.
Crecimiento simple vs. compuesto
El crecimiento simple suma lo mismo cada año, calculado sobre el número inicial. El crecimiento compuesto calcula la ganancia de cada año sobre el total nuevo, así que el crecimiento mismo crece. Ese es el motor detrás del interés de tus ahorros (Lección 3.3), de invertir (Lección 5.1) y, al revés, de la deuda de tarjeta de crédito (Lección 4.2).
- $1,000 al 10% por 3 años, simple
- $1,000 + 3 × $100 = $1,300.
- Lo mismo, compuesto
- $1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,331. Los $31 extra son crecimiento ganado sobre crecimiento.
Un atajo rápido para el interés compuesto es la regla del 72: divide 72 entre el porcentaje anual para estimar cuántos años tarda en duplicarse.
- Creciendo 8% al año
- 728 = 9 años para duplicarse: $1,000 pasan a ser unos $2,000.
Qué estás viendo: $1,000 creciendo a la tasa y por los años que elijas. Cada columna es un año. La parte gris es lo que te daría el crecimiento simple; la verde de arriba es lo extra del interés compuesto. Es un ejemplo de matemáticas, no una promesa de ningún rendimiento real.
Dos minutos. Solo escucha.
Toca cualquier línea para saltar a ella.
Carrera de porcentajes.
Ocho preguntas rápidas de matemáticas del dinero. Cada una te da los números. Resuélvela y luego toca tu respuesta. Un intento por pregunta.
Qué estás viendo: situaciones de dinero inventadas. Cada una da los números y luego hace una pregunta.
La lógica, paso a paso.
Tres pasos resuelven casi cualquier problema de porcentajes.
Paso 1: Convierte el porcentaje en decimal
- Tu aumento
- 10% se vuelve 0.10.
Paso 2: Usa un multiplicador
- Aumento, luego recorte
- $2,400 × 1.10 × 0.90 = $2,400 × 0.99 = $2,376.
Paso 3: Pregunta "¿porcentaje de qué?"
- El recorte
- 10% de $2,640, no 10% de $2,400. Por eso son $264, no $240.
Ejemplo resuelto: volver a $2,400
- Dónde estás. $2,376 al mes después del aumento y el recorte.
- La diferencia. $2,400 − $2,376 = $24.
- ¿Porcentaje de qué? Del sueldo nuevo, más bajo: $24$2,376 = 0.0101.
- La respuesta. Necesitarías un aumento de cerca de 1.01%, un poco más de 1%, para volver a donde empezaste.
- La lección. Las pérdidas y los recortes siempre necesitan una ganancia un poco más grande para deshacerse, y entre más grande la pérdida, más grande la diferencia.
La lenteja de agua se duplica.
La lenteja de agua, una plantita flotante, puede duplicar el espacio que cubre en unos dos días cuando las condiciones son buenas. Es interés compuesto en la naturaleza: cada planta nueva empieza a hacer más plantas. Un estanque puede verse casi vacío y quedar cubierto en pocos días.
Qué estás viendo: un dibujo, no datos. Si la lenteja de agua se duplicara cada 2 días y cubriera un estanque el día 60, cubriría la mitad el día 58, una cuarta parte el día 56 y solo una octava parte el día 54.
Por qué se te queda. El interés compuesto parece lento y luego de repente. La mayor parte del crecimiento llega al final. Por eso importa tanto empezar a ahorrar temprano, y por eso una deuda ignorada te puede ahogar.
La página que copiarías.
- Porcentaje = de cada 100. 15% = 0.15. Porcentaje de un número: multiplica. $60 × 0.15 = $9.
- Cambio porcentual = nuevo − anterioranterior. Siempre se mide desde el inicio.
- Puntos porcentuales: de 4% a 5% es +1 punto, pero un aumento de 25%.
- Trampa de la recuperación: −50% necesita +100% para recuperarse. +10% y luego −10% = × 0.99: $2,400 → $2,376.
- Los descuentos encadenados se multiplican: 20% y luego 10% = × 0.80 × 0.90 = × 0.72, o sea 28% de descuento.
- Crecimiento compuesto: inicio × (1 + tasa)años. $1,000 al 10% por 3 años = $1,331 vs. $1,300 simple.
- Regla del 72: años para duplicar ≈ 72% anual. Al 8%: 9 años.
Llena los espacios
Con un amigo o un grupo de estudio.
Revisa el titular
Busquen un titular de noticias con un porcentaje. ¿Es porcentaje o puntos porcentuales? ¿Porcentaje de qué? Reescríbanlo para que sea más claro.
Carrera de ofertas
Busquen una oferta real con descuentos encadenados. Todos calculan el precio final en papel. Gana la primera respuesta correcta.
Doble o nada
Cada quien elige una tasa de crecimiento. Usen el control de arriba para ver cuántos años tardan $1,000 en duplicarse. ¿Quién se acercó más antes de ver?
Solo tú y tu dinero.
Esto se queda en este dispositivo. Nadie más lo ve.
Preguntas tipo examen.
Escritas como las haría un examen universitario. Cada respuesta correcta al primer intento vale 10 xp.
En el trabajo: eres analista financiero
Tu jefa quiere saber cuál de dos empresas crece más rápido. Estas son sus ventas anuales:
- Empresa A: $2,000,000 el año pasado, $2,500,000 este año.
- Empresa B: $8,000,000 el año pasado, $9,000,000 este año.
- El gerente de la Empresa B dice: "Crecimos $1,000,000, el doble que los $500,000 de la Empresa A. Crecemos más rápido".
Tu tarea: calcula el crecimiento de cada empresa en porcentaje. ¿Tiene razón el gerente? Si la Empresa A mantiene su ritmo de crecimiento, ¿cuánto venderá el próximo año?
Ver una respuesta modelo
Empresa A: $2,500,000 − $2,000,000$2,000,000 = 0.25, o sea 25% de crecimiento.
Empresa B: $9,000,000 − $8,000,000$8,000,000 = 0.125, o sea 12.5% de crecimiento.
Lo que dice el gerente: B sumó más dólares, pero partiendo de un número mucho más grande. En porcentaje, A crece el doble de rápido.
El próximo año para A: $2,500,000 × 1.25 = $3,125,000, si se mantiene la tasa de 25%.
Las matemáticas debajo de cada lección.
Qué estás viendo: un mapa de dónde encaja esta lección en el curso. Léelo de izquierda a derecha: las lecciones en las que se basa, esta lección en el centro y la lección que sigue.
- Antes · Unidad 3Haz que tus ahorros ganen más
- Antes · Unidad 5¿Por qué invertir?
- Antes · Unidad 4Tarjetas de crédito
- Estás aquíLas matemáticas del porcentaje y el crecimiento
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